一道改编自课本的压轴题，一题多解，一题多变，初三系列153

群里老师提出一个难度比较大的压轴题，题目如下：

GGB打字：（您可以把下面这段复制粘贴到GGB中，“\\”表示latex的换行）

26. (本小题满分13分)\\

如图18，在正方形ABCD中,AB=8,\\

点M是AB边上一点(不与点A,B重合),\\

将线段DM绕点M顺时针旋转90°得到MP,\\

MP交BC于点Q,连接DP,交BC于点N,\\

连接PB,MN,设AM=x,\\

(1)当x=4时,求DM旋转过程中扫过的面积.\\

(2)用含x的代数式表示点P到AB的距离及BP的长度.\\

(3)在点M移动的过程中，\\

①求证:MP平分∠BMN.\\

②设ΔMNQ的面积为S ,请直接写出S与x的函数关系式，\\

得到效果如下：

看到这个题目，应该联想到人教版八下的某个经典问题。

如图：正方形ABCD，E为线段BC上任意一点，CF平分角DCG，EF垂直AE交CF于点F，求证：AE=EF

这道题，看似简单，实际证明起来却并不容易。通过对题目条件的分析，接下来我们根据要证明的结论，得出解决方法如下：

1、构建全等三角形证明

2、构建等腰三角形证明

3、构建平行四边形证明

4、构建相似三角形证明

具体的证明方法如下：

方法1:构建全等三角形：构造△AHE≌△CEF

方法2:构建全等三角形：构造△EHA≌△CEF

方法3:构建全等三角形：构造△AEC≌△FEH

方法4:构建全等三角形：构造△AEM≌△FEH

方法5:构建等腰三角形

方法6:构建等腰三角形

方法7:构建等腰三角形

方法8:构建平行四边形

方法9、10:构建平行四边形

方法11:构建平行四边形

方法12:构建相似三角形

方法13:构建相似三角形

方法14:构建相似三角形

我们继续看在本题背景下的一题多变，多题归一以及拓展变化。

一题多变：

多题归一

类比变式

显然，开题提出的这题，正是此题的改编！

解法如下：

合起来是这样的：

第3问的第二小问，表面上直接写，其实是难题。

动态图形如下：

静态图形如下：

即GGB绘图可知，这个函数“看起来”是二次函数，即左边的图形。

而且，这个△MNQ的三条边都是变化的！

而且点Q是往返型运动的动点！

此时，这个三角形如果高BM=8-x,那NQ 如何用x来表示？

其实不是二次函数啊！

答案是这样的：

这个过程究竟如何得到，还可以如何变式，准备下期推出，敬请期待！