C[a,b]空间为什么是稠密的（为什么会产生空间）

C[a,b]空间是稠密的。?

C[a,b]表示在区间[a,b]上是所有连续函数的集合，这个集合在某种拓扑意义下是稠密的。具体来说，可以通过多项式函数来逼近连续函数，即对于任意小的正数ε和任意连续函数f，都存在多项式函数p，使得|f(x)-p(x)|<ε对所有x∈[a,b]成立?。

要证明C[a,b]是稠密的，可以通过Weierstrass逼近定理来实现。

Weierstrass逼近定理表明，对于区间[a,b]上的任意连续函数f，对于每一个正数ε，存在多项式函数p，使得对于所有x∈[a,b]，有|f(x)-p(x)|<ε。这意味着多项式函数可以任意接近连续函数，因此多项式函数在C[a,b]中是稠密的?。

此外，可以通过构造一个可列集P1来实现C[a,b]的稠密性。

取以有理数为系数的多项式全体作为集P1，这个集合是可列集。

通过这些构造和传递性，可以证明P在C[a,b]中稠密。

由于多项式可列，从而C[a,b]是可分空间?。