R语言矩阵创建和运算（r语言矩阵的建立）

在R语言中，矩阵是将数据按行和列组织数据的一种表格，相当于二维数组，可以用于描述二维的数据。与向量相似，矩阵的每个元素都拥有相同的数据类型。通常用列来表示来自不同变量的数据，用行来表示相同的数据。

在R语言中可以使用matrix()函数来创建矩阵，其语法格式如下：

函数：matrix(data=NA, nrow = 1, ncol = 1, byrow = FALSE, dimnames = NULL)
参数：

data： 矩阵的元素，默认为NA，即未给出元素值的话，各项为NA
nrow： 矩阵的行数，默认为1；
ncol： 矩阵的列数，默认为1；
byrow： 元素是否按行填充，默认按列；
dimnames：以字符型向量表示的行名及列名。

1、按列创建矩阵

matrix(1:12,nrow=3,ncol=4) #默认按列填充
    [,1] [,2] [,3] [,4]
    [1,] 1 4 7 10
    [2,] 2 5 8 11
    [3,] 3 6 9 12

2、按行创建矩阵

matrix(1:12,nrow=4,ncol=3,byrow=T) #按行填充
    [,1] [,2] [,3]
    [1,] 1 2 3
    [2,] 4 5 6
    [3,] 7 8 9
    [4,] 10 11 12

注意：向量可以转换为矩阵

3、矩阵转置函数t(matrix)

m <-matrix(1:12,nrow=4,ncol=3)
m
    [,1] [,2] [,3]
    [1,] 1 5 9
    [2,] 2 6 10
    [3,] 3 7 11
    [4,] 4 8 12
t(m) #转置矩阵m
    [,1] [,2] [,3] [,4]
    [1,] 1 2 3 4
    [2,] 5 6 7 8
    [3,] 9 10 11 12

4、矩阵加减

在R中对同行同列矩阵相加减，可用符号：“＋”、“－”，例如：

A<-B<-matrix(1:12,nrow=3,ncol=4) #同时为A、B赋值
A+B #矩阵A+B
    [,1] [,2] [,3] [,4]
    [1,] 2 8 14 20
    [2,] 4 10 16 22
    [3,] 6 12 18 24
A-B #矩阵A-B
    [,1] [,2] [,3] [,4]
    [1,] 0 0 0 0
    [2,] 0 0 0 0
    [3,] 0 0 0 0

5、常数与矩阵相乘

A为m×n矩阵，c>0，在R中求cA可用符号：“*”，例如：

A<-matrix(1:12,nrow=3,ncol=4)
c<-2
c*A
    [,1] [,2] [,3] [,4]
    [1,] 2 8 14 20
    [2,] 4 10 16 22
    [3,] 6 12 18 24

6、矩阵相乘

A为m×n矩阵，B为n×k矩阵，在R中求AB可用符号：“％*％”，例如：

A=matrix(1:12,nrow=3,ncol=4)
B=matrix(1:12,nrow=4,ncol=3)
A%*%B
    [,1] [,2] [,3]
    [1,] 70 158 246
    [2,] 80 184 288
    [3,] 90 210 330

若A为n×m矩阵，要得到A'B（矩阵A的转置乘矩阵B），可用函数crossprod()，该函数计算结果与t(A)%*%B相同，但是效率更高。例如：

A=matrix(1:12,nrow=4,ncol=3)
B=matrix(1:12,nrow=4,ncol=3)
t(A)%*%B
    [,1] [,2] [,3]
    [1,] 30 70 110
    [2,] 70 174 278
    [3,] 110 278 446
crossprod(A,B)
    [,1] [,2] [,3]
    [1,] 30 70 110
    [2,] 70 174 278
    [3,] 110 278 446

7、哈达马积( hadamard product)

若A={aij}、m×n, B={bij}、m×n, 则矩阵的Hadamard积定义为：A⊙B={aij bij }m×n,R中Hadamard积可以直接运用运算符“*”例如：

A=matrix(1:16,4,4)
A
    [,1] [,2] [,3] [,4]
    [1,] 1 5 9 13
    [2,] 2 6 10 14
    [3,] 3 7 11 15
    [4,] 4 8 12 16
B<-A
A*B
    [,1] [,2] [,3] [,4]
    [1,] 1 25 81 169
    [2,] 4 36 100 196
    [3,] 9 49 121 225
    [4,] 16 64 144 256

8、矩阵对角元素相关运算

A=matrix(1:16,nrow=4,ncol=4)
A
    [,1] [,2] [,3] [,4]
    [1,] 1 5 9 13
    [2,] 2 6 10 14
    [3,] 3 7 11 15
    [4,] 4 8 12 16
diag(A) #取一个方阵的对角元素
		[1] 1 6 11 16
diag(diag(A)) #对一个向量应用diag()函数将产生以这个向量为对角元素的对角矩阵
    [,1] [,2] [,3] [,4]
    [1,] 1 0 0 0
    [2,] 0 6 0 0
    [3,] 0 0 11 0
    [4,] 0 0 0 16
diag(3) #对一个正整数z应用diag()函数将产生以z维单位矩阵
    [,1] [,2] [,3]
    [1,] 1 0 0
    [2,] 0 1 0
    [3,] 0 0 1

9、矩阵求逆

矩阵求逆可用函数solve()，应用solve(a,b)运算结果是解线性方程组ax = b，若b缺省，则系统默认为单位矩阵，因此可用其进行矩阵求逆，例如：

a<-matrix(rnorm(16),4,4) #rnorm(16)生成16个标准正态分布随机数
a
		[,1] [,2] [,3] [,4]
    [1,] 1.6986019 0.5239738 0.2332094 0.3174184
    [2,] -0.2010667 1.0913013 -1.2093734 0.8096514
    [3,] -0.1797628 -0.7573283 0.2864535 1.3679963
    [4,] -0.2217916 -0.3754700 0.1696771 -1.2424030
solve(a)
    [,1] [,2] [,3] [,4]
    [1,] 0.9096360 0.54057479 0.7234861 1.3813059
    [2,] -0.6464172 -0.91849017 -1.7546836 -2.6957775
    [3,] -0.7841661 -1.78780083 -1.5795262 -3.1046207
    [4,] -0.0741260 -0.06308603 0.1854137 -0.6607851
solve(a)%*%a #X'X为单位阵，由于计算误差出现了非对角元素趋向于0的误差
    [,1] [,2] [,3] [,4]
    [1,] 1.000000e+00 2.748453e-17 -2.787755e-17 -8.023096e-17
    [2,] 1.626303e-19 1.000000e+00 -4.960225e-18 6.977925e-16
    [3,] 2.135878e-17 -4.629543e-17 1.000000e+00 6.201636e-17
    [4,] 1.866183e-17 1.563962e-17 1.183813e-17 1.000000e+00

10、矩阵的特征值与特征向量

矩阵A的谱分解为A=UΛU',其中Λ是由A的特征值组成的对角矩阵，U的列为A的特征值对应的特征向量，在R中可以用函数eigen()函数得到U和Λ。

函数：eigen(x,symmetric,only.values=FALSE,EISPACK=FALSE)
参数：x为矩阵，symmetric项指定矩阵x是否为对称矩阵，若不指定，系统将自动检测x是否为对称矩阵。

A=diag(4)+1
A
    [,1] [,2] [,3] [,4]
    [1,] 2 1 1 1
    [2,] 1 2 1 1
    [3,] 1 1 2 1
    [4,] 1 1 1 2
A.eigen=eigen(A,symmetric=T)
A.eigen
$values
		[1] 5 1 1 1
$vectors
    [,1] [,2] [,3] [,4]
    [1,] 0.5 0.8660254 0.000000e+00 0.0000000
    [2,] 0.5 -0.2886751 -6.408849e-17 0.8164966
    [3,] 0.5 -0.2886751 -7.071068e-01 -0.4082483
    [4,] 0.5 -0.2886751 7.071068e-01 -0.4082483
A.eigen$vectors%*%diag(A.eigen$values)%*%t(A.eigen$vectors)
    [,1] [,2] [,3] [,4]
    [1,] 2 1 1 1
    [2,] 1 2 1 1
    [3,] 1 1 2 1
    [4,] 1 1 1 2
t(A.eigen$vectors)%*%A.eigen$vectors
    [,1] [,2] [,3] [,4]
    [1,] 1.000000e+00 4.377466e-17 1.626303e-17 -5.095750e-18
    [2,] 4.377466e-17 1.000000e+00 -1.694066e-18 6.349359e-18
    [3,] 1.626303e-17 -1.694066e-18 1.000000e+00 -1.088268e-16
    [4,] -5.095750e-18 6.349359e-18 -1.088268e-16 1.000000e+00

11、矩阵的Choleskey分解

对于正定矩阵A，可对其进行Choleskey分解，即：A=P'P，其中P为上三角矩阵，在R中可以用函数chol()进行Choleskey分解，例如：

A=diag(4)+1
A
    [,1] [,2] [,3] [,4]
    [1,] 2 1 1 1
    [2,] 1 2 1 1
    [3,] 1 1 2 1
    [4,] 1 1 1 2
chol(A) #用函数chol(A)对矩阵A进行Choleskey分解
    [,1] [,2] [,3] [,4]
    [1,] 1.414214 0.7071068 0.7071068 0.7071068
    [2,] 0.000000 1.2247449 0.4082483 0.4082483
    [3,] 0.000000 0.0000000 1.1547005 0.2886751
    [4,] 0.000000 0.0000000 0.0000000 1.1180340
t(chol(A))%*%chol(A) #下三角阵乘上三角阵
    [,1] [,2] [,3] [,4]
    [1,] 2 1 1 1
    [2,] 1 2 1 1
    [3,] 1 1 2 1
    [4,] 1 1 1 2
crossprod(chol(A),chol(A)) #下三角阵乘上三角阵
    [,1] [,2] [,3] [,4]
    [1,] 2 1 1 1
    [2,] 1 2 1 1
    [3,] 1 1 2 1
    [4,] 1 1 1 2
prod(diag(chol(A))^2) #A为对称正定矩阵，利用Choleskey分解求行列式的值
		[1] 5
det(A) #有函数det(A)求矩阵A的行列式的值
		[1] 5
chol2inv(chol(A))
    [,1] [,2] [,3] [,4] #A为对称正定矩阵，利用Choleskey分解求矩阵的逆
    [1,] 0.8 -0.2 -0.2 -0.2
    [2,] -0.2 0.8 -0.2 -0.2
    [3,] -0.2 -0.2 0.8 -0.2
    [4,] -0.2 -0.2 -0.2 0.8
solve(A) #用solve函数求矩阵的逆
    [,1] [,2] [,3] [,4]
    [1,] 0.8 -0.2 -0.2 -0.2
    [2,] -0.2 0.8 -0.2 -0.2
    [3,] -0.2 -0.2 0.8 -0.2
    [4,] -0.2 -0.2 -0.2 0.8

12、矩阵奇异值分解

A为m×n矩阵，rank(A)= r, 可以分解为：A=UDV',其中U'U=V'V=I。在R中可以用函数svd()进行奇异值分解，例如：

A=matrix(1:18,3,6)
A
    [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
    [1,] 1 4 7 10 13 16
    [2,] 2 5 8 11 14 17
    [3,] 3 6 9 12 15 18
svd(A) #奇异值分解
$d #半正定对角矩阵
    [1] 4.589453e+01 1.640705e+00 3.627301e-16
$u #酋矩阵
    [,1] [,2] [,3]
    [1,] -0.5290354 0.74394551 0.4082483
    [2,] -0.5760715 0.03840487 -0.8164966
    [3,] -0.6231077 -0.66713577 0.4082483
$v #共轭矩阵
    [,1] [,2] [,3]
    [1,] -0.07736219 -0.7196003 -0.18918124
    [2,] -0.19033085 -0.5089325 0.42405898
    [3,] -0.30329950 -0.2982646 -0.45330031
    [4,] -0.41626816 -0.0875968 -0.01637004
    [5,] -0.52923682 0.1230711 0.64231130
    [6,] -0.64220548 0.3337389 -0.40751869
A.svd=svd(A)
A.svd$u%*%diag(A.svd$d)%*%t(A.svd$v) #奇异值分解还原
    [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
    [1,] 1 4 7 10 13 16
    [2,] 2 5 8 11 14 17
    [3,] 3 6 9 12 15 18
t(A.svd$u)%*%A.svd$u
    [,1] [,2] [,3]
    [1,] 1.000000e+00 -1.169312e-16 -3.016793e-17
    [2,] -1.169312e-16 1.000000e+00 -3.678156e-17
    [3,] -3.016793e-17 -3.678156e-17 1.000000e+00
t(A.svd$v)%*%A.svd$v
    [,1] [,2] [,3]
    [1,] 1.000000e+00 8.248068e-17 -3.903128e-18
    [2,] 8.248068e-17 1.000000e+00 -2.103352e-17
    [3,] -3.903128e-18 -2.103352e-17 1.000000e+00

13、矩阵QR分解

A为m×n矩阵可以进行QR分解，A=QR，其中：Q'Q＝I，在R中可以用函数qr()进行QR分解，例如：

A=matrix(1:16,4,4)
qr(A)
$qr
    [,1] [,2] [,3] [,4]
    [1,] -5.4772256 -12.7801930 -2.008316e+01 -2.738613e+01
    [2,] 0.3651484 -3.2659863 -6.531973e+00 -9.797959e+00
    [3,] 0.5477226 -0.3781696 2.641083e-15 2.056562e-15
    [4,] 0.7302967 -0.9124744 8.583032e-01 -2.111449e-16
$rank
		[1] 2
$qraux
		[1] 1.182574e+00 1.156135e+00 1.513143e+00 2.111449e-16
$pivot
		[1] 1 2 3 4
attr(,"class")
		[1] "qr"
#rank项返回矩阵的秩，qr项包含了矩阵Q和R的信息，要得到矩阵Q和R，
#可以用函数qr.Q()和qr.R()作用qr()的返回结果，例如：
qr.R(qr(A))
    [,1] [,2] [,3] [,4]
    [1,] -5.477226 -12.780193 -2.008316e+01 -2.738613e+01
    [2,] 0.000000 -3.265986 -6.531973e+00 -9.797959e+00
    [3,] 0.000000 0.000000 2.641083e-15 2.056562e-15
    [4,] 0.000000 0.000000 0.000000e+00 -2.111449e-16
qr.Q(qr(A))
    [,1] [,2] [,3] [,4]
    [1,] -0.1825742 -8.164966e-01 -0.4000874 -0.37407225
    [2,] -0.3651484 -4.082483e-01 0.2546329 0.79697056
    [3,] -0.5477226 -8.131516e-19 0.6909965 -0.47172438
    [4,] -0.7302967 4.082483e-01 -0.5455419 0.04882607
qr.Q(qr(A))%*%qr.R(qr(A))
    [,1] [,2] [,3] [,4]
    [1,] 1 5 9 13
    [2,] 2 6 10 14
    [3,] 3 7 11 15
    [4,] 4 8 12 16
t(qr.Q(qr(A)))%*%qr.Q(qr(A))
    [,1] [,2] [,3] [,4]
    [1,] 1.000000e+00 -1.457168e-16 -6.760001e-17 -7.659550e-17
    [2,] -1.457168e-16 1.000000e+00 -4.269046e-17 7.011739e-17
    [3,] -6.760001e-17 -4.269046e-17 1.000000e+00 -1.596437e-16
    [4,] -7.659550e-17 7.011739e-17 -1.596437e-16 1.000000e+00
qr.X(qr(A))
    [,1] [,2] [,3] [,4]
    [1,] 1 5 9 13
    [2,] 2 6 10 14
    [3,] 3 7 11 15
    [4,] 4 8 12 16

14、矩阵广义逆(Moore-Penrose)

n×m矩阵A+称为m×n矩阵A的Moore-Penrose逆，在R的MASS包中的函数ginv()可计算矩阵A的Moore-Penrose逆，例如：

library(“MASS”) #载入MASS包
A
    [,1] [,2] [,3] [,4]
    [1,] 1 5 9 13
    [2,] 2 6 10 14
    [3,] 3 7 11 15
    [4,] 4 8 12 16
ginv(A)
    [,1] [,2] [,3] [,4]
    [1,] -0.285 -0.1075 0.07 0.2475
    [2,] -0.145 -0.0525 0.04 0.1325
    [3,] -0.005 0.0025 0.01 0.0175
    [4,] 0.135 0.0575 -0.02 -0.0975
A%*%ginv(A)%*%A #验证性质1
    [,1] [,2] [,3] [,4]
    [1,] 1 5 9 13
    [2,] 2 6 10 14
    [3,] 3 7 11 15
    [4,] 4 8 12 16
ginv(A)%*%A%*%ginv(A) #验证性质2
    [,1] [,2] [,3] [,4]
    [1,] -0.285 -0.1075 0.07 0.2475
    [2,] -0.145 -0.0525 0.04 0.1325
    [3,] -0.005 0.0025 0.01 0.0175
    [4,] 0.135 0.0575 -0.02 -0.0975
t(A%*%ginv(A)) #验证性质3
    [,1] [,2] [,3] [,4]
    [1,] 0.7 0.4 0.1 -0.2
    [2,] 0.4 0.3 0.2 0.1
    [3,] 0.1 0.2 0.3 0.4
    [4,] -0.2 0.1 0.4 0.7
A%*%ginv(A)
    [,1] [,2] [,3] [,4]
    [1,] 0.7 0.4 0.1 -0.2
    [2,] 0.4 0.3 0.2 0.1
    [3,] 0.1 0.2 0.3 0.4
    [4,] -0.2 0.1 0.4 0.7
t(ginv(A)%*%A) #验证性质4
    [,1] [,2] [,3] [,4]
    [1,] 0.7 0.4 0.1 -0.2
    [2,] 0.4 0.3 0.2 0.1
    [3,] 0.1 0.2 0.3 0.4
    [4,] -0.2 0.1 0.4 0.7
ginv(A)%*%A
    [,1] [,2] [,3] [,4]
    [1,] 0.7 0.4 0.1 -0.2
    [2,] 0.4 0.3 0.2 0.1
    [3,] 0.1 0.2 0.3 0.4
    [4,] -0.2 0.1 0.4 0.7

15、矩阵Kronecker积

n×m矩阵A与h×k矩阵B的kronecker积为一个nh×mk维矩阵，在R中kronecker积可以用函数kronecker()来计算，例如：

A=matrix(1:4,2,2)
B=matrix(rep(1,4),2,2)
A
    [,1] [,2]
    [1,] 1 3
    [2,] 2 4
B
    [,1] [,2]
    [1,] 1 1
    [2,] 1 1
kronecker(A,B)
    [,1] [,2] [,3] [,4]
    [1,] 1 1 3 3
    [2,] 1 1 3 3
    [3,] 2 2 4 4
    [4,] 2 2 4 4

16、矩阵的维数

在R中很容易得到一个矩阵的维数，函数dim()将返回一个矩阵的维数，nrow()返回行数，ncol()返回列数，例如：

A=matrix(1:12,3,4)
A
    [,1] [,2] [,3] [,4]
    [1,] 1 4 7 10
    [2,] 2 5 8 11
    [3,] 3 6 9 12
nrow(A) #输出矩阵行数
		[1] 3
ncol(A) #输出矩阵行数
		[1] 4

17、矩阵的行和、列和、行平均与列平均

在R中很容易求得一个矩阵的各行的和、平均数与列的和、平均数，例如：

A=matrix(1:12,3,4)
A
    [,1] [,2] [,3] [,4]
    [1,] 1 4 7 10
    [2,] 2 5 8 11
    [3,] 3 6 9 12
rowSums(A) #求行和
		[1] 22 26 30
rowMeans(A) #求行平均数
		[1] 5.5 6.5 7.5
colSums(A) #求列和
		[1] 6 15 24 33
colMeans(A) #求列平均数
		[1] 2 5 8 11

18、apply()函数

矩阵行和列的操作，还可以使用apply()函数实现。

A=matrix(1:12,3,4)
A
    [,1] [,2] [,3] [,4]
    [1,] 1 4 7 10
    [2,] 2 5 8 11
    [3,] 3 6 9 12
apply(A,1,sum) #求行和
		[1] 22 26 30
apply(A,1,mean) #求行平均数
		[1] 5.5 6.5 7.5
apply(A,2,sum) #求列和
		[1] 6 15 24 33
apply(A,2,mean) #求列平均数
		[1] 2 5 8 11
A=matrix(rnorm(100),20,5) #生成20*5标准正态随机数矩阵
apply(A,2,var) #计算每列数据的方差
		[1] 0.4641787 1.4331070 0.3186012 1.3042711 0.5238485

19、矩阵X'X的逆

在统计计算中，我们常常需要计算这样矩阵的逆，如OLS估计中求系数矩阵。R中的包“strucchange”提供了有效的计算方法。

函数：solveCrossprod(X, method = c("qr", "chol", "solve"))
参数：method指定求逆方法，选用“qr”效率最高，选用“chol”精度最高，选用“slove”与slove(crossprod(x,x))效果相同

A=matrix(rnorm(16),4,4)
solveCrossprod(A,method="qr")
    [,1] [,2] [,3] [,4]
    [1,] 0.6132102 -0.1543924 -0.2900796 0.2054730
    [2,] -0.1543924 0.4779277 0.1859490 -0.2097302
    [3,] -0.2900796 0.1859490 0.6931232 -0.3162961
    [4,] 0.2054730 -0.2097302 -0.3162961 0.3447627
solveCrossprod(A,method="chol")
    [,1] [,2] [,3] [,4]
    [1,] 0.6132102 -0.1543924 -0.2900796 0.2054730
    [2,] -0.1543924 0.4779277 0.1859490 -0.2097302
    [3,] -0.2900796 0.1859490 0.6931232 -0.3162961
    [4,] 0.2054730 -0.2097302 -0.3162961 0.3447627
solveCrossprod(A,method="solve")
    [,1] [,2] [,3] [,4]
    [1,] 0.6132102 -0.1543924 -0.2900796 0.2054730
    [2,] -0.1543924 0.4779277 0.1859490 -0.2097302
    [3,] -0.2900796 0.1859490 0.6931232 -0.3162961
    [4,] 0.2054730 -0.2097302 -0.3162961 0.3447627
solve(crossprod(A,A))
    [,1] [,2] [,3] [,4]
    [1,] 0.6132102 -0.1543924 -0.2900796 0.2054730
    [2,] -0.1543924 0.4779277 0.1859490 -0.2097302
    [3,] -0.2900796 0.1859490 0.6931232 -0.3162961
    [4,] 0.2054730 -0.2097302 -0.3162961 0.3447627

20、取矩阵的上、下三角部分

在R中，我们可以很方便的取到一个矩阵的上、下三角部分的元素，函数lower.tri()和函数upper.tri()提供了有效的方法。

函数：lower.tri(x, diag = FALSE)
参数：函数返回一个逻辑值矩阵，其中下三角部分为真，上三角部分为假，选项diag为真时包含对角元素，为假时不包含对角元素。upper.tri()的效果与之孑然相反。

A=matrix(1:16,4,4)
A
    [,1] [,2] [,3] [,4]
    [1,] 1 5 9 13
    [2,] 2 6 10 14
    [3,] 3 7 11 15
    [4,] 4 8 12 16
lower.tri(A)
    [,1] [,2] [,3] [,4]
    [1,] FALSE FALSE FALSE FALSE
    [2,] TRUE FALSE FALSE FALSE
    [3,] TRUE TRUE FALSE FALSE
    [4,] TRUE TRUE TRUE FALSE
lower.tri(A,diag=T)
    [,1] [,2] [,3] [,4]
    [1,] TRUE FALSE FALSE FALSE
    [2,] TRUE TRUE FALSE FALSE
    [3,] TRUE TRUE TRUE FALSE
    [4,] TRUE TRUE TRUE TRUE
upper.tri(A)
    [,1] [,2] [,3] [,4]
    [1,] FALSE TRUE TRUE TRUE
    [2,] FALSE FALSE TRUE TRUE
    [3,] FALSE FALSE FALSE TRUE
    [4,] FALSE FALSE FALSE FALSE
upper.tri(A,diag=T)
    [,1] [,2] [,3] [,4]
    [1,] TRUE TRUE TRUE TRUE
    [2,] FALSE TRUE TRUE TRUE
    [3,] FALSE FALSE TRUE TRUE
    [4,] FALSE FALSE FALSE TRUE
A[lower.tri(A)]=0
A
    [,1] [,2] [,3] [,4]
    [1,] 1 5 9 13
    [2,] 0 6 10 14
    [3,] 0 0 11 15
    [4,] 0 0 0 16
A[upper.tri(A)]=0
A
    [,1] [,2] [,3] [,4]
    [1,] 1 0 0 0
    [2,] 2 6 0 0
    [3,] 3 7 11 0
    [4,] 4 8 12 16

21、backsolve&fowardsolve函数

这两个函数用于解特殊线性方程组，其特殊之处在于系数矩阵为上或下三角。

函数：backsolve(r, x, k = ncol(r), upper.tri = TRUE, transpose = FALSE)
函数：forwardsolve(l, x, k = ncol(l), upper.tri = FALSE, transpose = FALSE)
参数：r或l为n×n维三角矩阵，x为n×1维向量，对给定不同的upper.tri和transpose的值，方程的形式不同

#对于函数backsolve()而言
A=matrix(1:9,3,3)
A
    [,1] [,2] [,3]
    [1,] 1 4 7
    [2,] 2 5 8
    [3,] 3 6 9
x=c(1,2,3)
x
[1] 1 2 3
B=A
B[upper.tri(B)]=0
B
[,1] [,2] [,3]
[1,] 1 0 0
[2,] 2 5 0
[3,] 3 6 9
C=A
C[lower.tri(C)]=0
C
[,1] [,2] [,3]
[1,] 1 4 7
[2,] 0 5 8
[3,] 0 0 9
backsolve(A,x,upper.tri=T,transpose=T)
[1] 1.00000000 -0.40000000 -0.08888889
solve(t(C),x)
[1] 1.00000000 -0.40000000 -0.08888889
backsolve(A,x,upper.tri=T,transpose=F)
[1] -0.8000000 -0.1333333 0.3333333
solve(C,x)
[1] -0.8000000 -0.1333333 0.3333333
backsolve(A,x,upper.tri=F,transpose=T)
[1] 1.111307e-17 2.220446e-17 3.333333e-01
solve(t(B),x)
[1] 1.110223e-17 2.220446e-17 3.333333e-01
backsolve(A,x,upper.tri=F,transpose=F)
[1] 1 0 0
solve(B,x)
[1] 1.000000e+00 -1.540744e-33 -1.850372e-17
#函数forwardsolve()而言
A
[,1] [,2] [,3]
[1,] 1 4 7
[2,] 2 5 8
[3,] 3 6 9
B
[,1] [,2] [,3]
[1,] 1 0 0
[2,] 2 5 0
[3,] 3 6 9
C
[,1] [,2] [,3]
[1,] 1 4 7
[2,] 0 5 8
[3,] 0 0 9
x
[1] 1 2 3
forwardsolve(A,x,upper.tri=T,transpose=T)
[1] 1.00000000 -0.40000000 -0.08888889
solve(t(C),x)
[1] 1.00000000 -0.40000000 -0.08888889
forwardsolve(A,x,upper.tri=T,transpose=F)
[1] -0.8000000 -0.1333333 0.3333333
solve(C,x)
[1] -0.8000000 -0.1333333 0.3333333
forwardsolve(A,x,upper.tri=F,transpose=T)
[1] 1.111307e-17 2.220446e-17 3.333333e-01
solve(t(B),x)
[1] 1.110223e-17 2.220446e-17 3.333333e-01
forwardsolve(A,x,upper.tri=F,transpose=F)
[1] 1 0 0
solve(B,x)
[1] 1.000000e+00 -1.540744e-33 -1.850372e-17

22、row()与col()函数

在R中定义了的这两个函数用于取矩阵元素的行或列下标矩阵，例如矩阵A={aij}m×n，row()函数将返回一个与矩阵A有相同维数的矩阵，该矩阵的第i行第j列元素为i，函数col()类似。例如：

#对于函数backsolve()而言
x=matrix(1:12,3,4)
row(x)
    [,1] [,2] [,3] [,4]
    [1,] 1 1 1 1
    [2,] 2 2 2 2
    [3,] 3 3 3 3
 col(x)
    [,1] [,2] [,3] [,4]
    [1,] 1 2 3 4
    [2,] 1 2 3 4
    [3,] 1 2 3 4
#这两个函数同样可以用于取一个矩阵的上下三角矩阵
> x
    [,1] [,2] [,3] [,4]
    [1,] 1 4 7 10
    [2,] 2 5 8 11
    [3,] 3 6 9 12
x[row(x)<col(x)]=0> x
    [,1] [,2] [,3] [,4]
    [1,] 1 0 0 0
    [2,] 2 5 0 0
    [3,] 3 6 9 0
x=matrix(1:12,3,4)
x[row(x)>col(x)]=0
x
    [,1] [,2] [,3] [,4]
    [1,] 1 4 7 10
    [2,] 0 5 8 11
    [3,] 0 0 9 12

23、行列式的值

在R中，函数det(x)将计算方阵x的行列式的值，例如：

x=matrix(rnorm(16),4,4)
x
    [,1] [,2] [,3] [,4]
    [1,] -1.0736375 0.2809563 -1.5796854 0.51810378
    [2,] -1.6229898 -0.4175977 1.2038194 -0.06394986
    [3,] -0.3989073 -0.8368334 -0.6374909 -0.23657088
    [4,] 1.9413061 0.8338065 -1.5877162 -1.30568465
det(x)
		[1] 5.717667

24、向量化算子

在R中可以很容易的实现向量化算子，例如：
vec<-function(x){t(t(as.vector(x)))} #自定义函数
vech<-function (x){t(x[lower.tri(x,diag=T)])} #自定义函数
x=matrix(1:12,3,4)
x
    [,1] [,2] [,3] [,4]
    [1,] 1 4 7 10
    [2,] 2 5 8 11
    [3,] 3 6 9 12
vec(x)
    [,1]
    [1,] 1
    [2,] 2
    [3,] 3
    [4,] 4
    [5,] 5
    [6,] 6
    [7,] 7
    [8,] 8
    [9,] 9
    [10,] 10
    [11,] 11
    [12,] 12
vech(x)
    [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
    [1,] 1 2 3 5 6 9

R语言中的矩阵是一种非常重要的数据结构，它可以用于存储和处理二维数值型数据。以下是一些矩阵的特性：

简单易用：矩阵是R语言中最简单和最基础的数据结构之一。可以轻松地创建、操作和存储矩阵。
存储和处理数据：矩阵可以用来存储和处理二维数值型数据。在R语言中，可以对矩阵进行基本的数学运算、数据分析、绘图等操作，包括平均值、方差、标准差等统计指标的计算。
节省空间：使用矩阵可以节省内存空间。相比于列表等其他数据结构，矩阵占用的内存更小。
向量化操作：矩阵可以支持向量化操作，这是R语言的一个强大特性。向量化操作可以让你同时处理多个数值数据，极大地提高了代码的效率和可读性。
集合运算：矩阵可以用来进行集合运算，例如求并集、交集、补集等操作。
线性代数：矩阵是线性代数中的重要概念。在R语言中，可以使用矩阵进行线性代数运算，例如矩阵的乘法、转置、求逆等操作。

总之，矩阵是R语言中非常重要的一种数据结构，是数据分析和统计建模的基础。熟练掌握矩阵的创建和操作方法，可以帮助数据分析师更好地处理和分析数据。

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R语言矩阵创建和运算（r语言矩阵的建立）

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