微积分求面积的方法就是无限切分（微分）、求和（积分）、取极限。而电脑程序最擅长的就是做机械化的重复工作。
定积分的物理意义是某个函数与x轴围成的区域的面积。定积分可以通过将这块面积分解成一连串的小矩形，计算各小矩形的面积的和而得到，如图下图所示，曲线函数f(x)=x^2+5x+1，小矩形的宽度可由用户指定，高度就是对应于这个x的函数值f(x)。区间[a, b]的a、b及小矩形的宽度在程序执行时由用户输入。
如果小矩形的宽度是delt，起点坐标是x，则矩形的近似面积为delt*f（x+delt/2）。
计算定积分只需要沿着x轴将一个个小矩形的面积相加即可。
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
int main()
{
double x, a, b, s = 0, h, delt; // s为积分值
cout << "请输入f(x)=x^2+5x+1的积分区域（a b）： ";
cin >> a >> b;
cout << "请输入小矩形的宽度： ";
cin >> delt;
for ( x = a + delt / 2; x <= b; x += delt) {
h = x * x + 5 * x + 1;
s += h * delt;
}
cout << "粗略分割计算的函数的定积分是：" << s << endl;
cout << "x^2+5x+1的原函数是：1/3*x^3+5/2*x^2+x" << endl;
double s1 = 1.0/3+5.0/2+1;
double s2 = (1.0/3)*pow(12,3)+(5.0/2)*pow(12,2)+12;
cout << "按微积分公式计算的函数的定积分是：" << s2-s1 << endl;
cin.get();cin.get();
return 0;
}
/*
运行效果：
请输入f(x)=x^2+5x+1的积分区域（a b）： 1 12
请输入小矩形的宽度： 0.1
粗略分割计算的函数的定积分是：944.157
x^2+5x+1的原函数是：1/3*x^3+5/2*x^2+x
按微积分公式计算的函数的定积分是：944.167
*/
用类似的方法可以求π 的近似值，具体思想如下：
在平面坐标系中有一个圆心在原点，半径为1的圆，用矩形法计算第一象限的面积S，4 * S就是整个圆的面积。圆面积也可以通过π*r^2来求，因此可得π = 4 * S。尝试不同的小矩形宽度，以得到不同精度的π 值。
在第一象限中，x的值从0变到1。圆上的每个点的坐标为（x， sqrt(1-x^2 ）。如果矩形的宽度为delt，计算第一象限中的圆面积就是沿着x轴，从delt/2到1计算每个小矩形面积并相加。
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
int main()
{
double x, s = 0, delt;
cout << "请输入小矩形的宽度： ";
cin >> delt;
for ( x = delt / 2; x <= 1; x += delt) // 计算第一象限内的圆面积
s += sqrt(1 - x * x) * delt;
cout << "π 的近似值是：" << 4 * s << endl;
cin.get();cin.get();
return 0;
}
/*
请输入小矩形的宽度： 0.01
π 的近似值是：3.14194
*/
－End－