六西格玛(六十二)——指数分布

指数随机变量的概率分布定义如下：

f(x)=λe^(-λx)

其中λ>0常数。

指数分布的平均值和方差是：

μ=λ^-1

σ^2=(λ^2)-1

特殊的指数分布，见下图：

累计指数分布是：

函数图如下：

指数分布广泛应用于可靠性工程领域，用来建模部件和系统的失效与时间关系。在这些应用中，参数λ称为系统的失效率。分布的平均值λ^-1称为平均失效时间。例如，一个空中雷达系统中电子部件服从寿命为失效率为10^-4/h的指数分布，也就是λ=10^-4.这台设备的平均失效时间是λ^-1=10^4=10,000h。如果我们想确定这个在其预期寿命之前失效的概率，我们可以作如下评估：

得到结果的不依赖λ。也就是说指数随机变量值的概率小于其平均值，其结果是0.63212.出现这样的结果是因为分布是非对称的。

在指数分布和泊松分布之间存在一个非常重要的关系。如果我们考虑用泊松分布来建模在区间（0，t]内一些事件发生的次数，从等式3.15：

我们得到：

x=0表示在区间(0,t]内没有事件发生，那么：

我们可认为p(0)是区间内第一次产生大于t的概率，或者：

其中y表示区间内第一次发生的随机变量，因此，

使用f(y)=dF(y)/dy, 我们有如下区间内第一次发生的分布。我们知道下面的等式是一个参数是λ的泊松分布。