2025新高考数学中“不等式”的考法是什么?让老罗告诉你...

老罗为大家带来2025届的新高考数学中“不等式”的预测，具体请听老罗分析？

专题一：一元二次函数、方程与不等式的分析和预测

根据最新课标要求、近年高考真题分析及一轮复习资料，2025年新高考数学中“一元二次函数、方程与不等式”的命题将延续基础性与综合性并重的特点，同时强化实际应用和数形结合能力。

一、核心考点与命题趋势预测

1. 一元二次函数图象与性质

命题重点：对称轴、顶点坐标、最值、单调性的求解，尤其关注含参函数在区间上的最值问题（如动轴定区间、定轴动区间）。

创新方向：结合分段函数或绝对值变形（如 |ax^2+bx+c|的图象与解集）。

真题印证：2023年全国卷考查二次函数单调性与参数范围（填空题）。

2. 一元二次方程根的分布

高频题型：

根的判别式（Δ）与根的存在性；

根与系数关系（韦达定理）在不等式中的应用；

含参方程根的区间分布（如“两正根”“异号根”等条件求参数范围）。

预测题示例：若方程 x^2-2mx+m+1=0 的两根均在区间 (1,3)内，求m的取值范围。

3. 一元二次不等式解法与解集特征

基础题型：不含参数的不等式求解（必考，常与集合、定义域结合）；

进阶题型：含参不等式的分类讨论（重点：二次项系数正负、Δ符号、根的大小比较）。

解集规律（标准化 a>0后）：

4. 不等式恒成立与能成立问题

恒成立：

全集R上：a>0且 Δ<0（>0）或分离参数求最值；

给定区间上：转化为函数最值或端点值符号分析。

创新考法：与导数、三角函数等结合（如f(x)=sin^2x+acosx在[0,π]恒正求a范围）。

二、重难点突破策略

1. 含参不等式的分类讨论

步骤：

① 标准化：确保二次项系数为正（否则乘-1并翻转不等号）；

② 判Δ求根：讨论根的存在性及大小；

③ 写解集：根据根的情况结合图象确定解集。

关键点：若参数影响根的存在性（如a=0时退化为一元一次），需单独讨论。

2.“三个二次”关系的灵活应用

核心方法：由函数图象的开口方向、与x轴交点（根）、区间端点符号反向确定参数范围。

真题案例：2020年全国卷给出 ax^2+bx+c>0解集为(-1,3)，求a(x^2+1)+b(x-1)+c>2ax的解集（需利用根与系数关系）。

3. 分式与高次不等式的转化

解题路径：

分式不等式 → 化为整式（注意分母不为零）；

高次不等式 → 因式分解后用**数轴穿根法**（“奇穿偶不穿”）。

示例：(x-1)^3(x+2)/(x-3)≥0的解集为[-2,1]∪(3,+∞)。

三、2025年热点题型预测

1. 实际应用题

背景选择：

利润最大化（二次函数最值）；

传播问题（如流感传染模型：1+x+x(1+x)>100求 x的最小整数值）；

几何图形面积约束（矩形折叠问题求面积范围）。

2. 多知识综合题

常见组合：

与数列结合：等差数列前n项和S=an^2+bn的最值或不等式恒成立（如2024湖北二模）；

与函数性质结合：利用二次函数对称性解抽象不等式（如f(x)=x^2-bx+c满足f(2-t)=f(t)，解f(x)>0）。

3. 创新压轴题

命题方向：

含绝对值的二次函数分段讨论（如y=|x^2-4x+3|的图象与方程|x^2-4x+3|=k的解的个数问题）；

二次函数零点与参数范围的充分必要条件分析（如“存在x∈[1,4]使不等式成立”的否定形式）。

4、以下是老罗的预测（具体请看下面的图片）

四、备考建议与误区警示

1. 基础巩固

熟记解集表格（Δ 分类），强化“标准化”意识（首项系数正）；

训练含参讨论的完备性（如 `a=0` 与 `a≠0` 的分界）。

2. 能力提升

数形结合：通过图象逆向分析参数（如“开口向上+解集包含x>3” → 根的位置）；

转化思想：恒成立问题优先分离参数（如a≥f(x)恒成立 →a≥f(x)）。

3. 规避误区

解分式不等式时忽略分母非零（如 (x-2)/(x+1)≥0 解集为 (-∞,-1)∪[2,+∞)而非[-1,2]）；

恒成立问题中未讨论二次项系数为零的情况（如mx^2+2mx-4<2x^2+4x需分m=2和m≠2）。

2025年高考对该模块的考查将保持“基础题占70%+综合题占30%”的结构，核心仍是数形结合与分类讨论思想。建议结合真题（如2023全国卷、2024湖北/浙江卷）进行针对性演练，重点突破含参讨论与跨知识综合题型。

专题二：均值不等式及不等式综合的分析和预测

以下是结合最新高考命题趋势、近年真题分析及一轮复习资料，对2025年新高考数学中“均值不等式及不等式综合”模块的预测及备考建议：

一、核心考点与命题趋势预测

1. 均值不等式的变形与应用

基础链式关系：重点考查两变量与三变量的均值不等式链（调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数）及变形公式：

两变量：

三变量：

高频题型：

条件最值（如求的最小值”，需“1”的代换）；

多元最值（如三元不等式与柯西不等式结合求最值）。

2. 不等式综合问题

与函数、导数结合：利用导数工具解决含参不等式恒成立问题。

恒成立问题：分离参数法（恒成立）或最值转化法；

双变量问题：转化为值域包含关系。

与其他章节交汇：

数列：前n项和与均值不等式结合证明不等式（如放缩法）；

解析几何：求三角形面积、距离的最值（如约束面积）。

3. 创新题型方向

实际应用背景：利润优化、资源分配、几何体表面积/体积约束问题（如矩形围栏最小材料问题）；

代数推理证明：以高等数学为背景（如柯西不等式、权方和不等式）的放缩与迭代证明。

二、重难点突破策略

1. 均值不等式“拼凑法”求最值

拆项配凑：针对目标结构进行代数变形；

常数代换：条件等式化为“1”。

2. 含参不等式恒成立的分类讨论

分离参数失败时：直接构造函数求导分析极值点与区间端点；

双变量问题转化：

3. 柯西不等式的灵活应用

二维形式：求条件最值。

三、老罗对2025年热点题型预测（具体请看下面的图片）

四、备考建议与误区警示

1. 基础巩固

熟记取等条件：均值不等式需满足“一正二定三相等”，缺一不可；

强化链式关系：理解的几何意义（如圆中半径≥半弦）。

2. 能力提升

数形结合：线性规划问题用图像分析边界点；

分类讨论能力：含参不等式需分讨论。

3. 规避误区

忽略分母非零：解分式不等式时，解集应为；

恒成立问题漏参数：如在恒成立，需分与讨论。

2025年高考对该模块的考查将延续“基础题占60%+综合题占40%”的结构，核心思想是转化与化归。建议结合真题（如2023全国卷导数不等式）重点训练拼凑配凑法、分离参数法及多变量转化策略，同时关注柯西不等式的应用拓展。