处处留心皆学问，在初中数学解题中我们经常会遇到一些类似的题型，对这些常见的题型我们可以作深入探究，归纳出具有通性的解题方法，我们可称之为"数学解题模型"。借助这些解题模型我们往往可以顺利突破解题难点，让解题变得游刃有余。当然在实际解题过程中需要我们对模型有深刻的理解，能够抓住题目中已知条件的要点，联想到实用的模型，从而去构造模型，突破解题难点，这需要在不断解题中去积累经验。著名数学教育家波利亚曾说："对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．" 下面笔者以此题为例，谈谈如何抓住题目中的要点，构建模型，进而转化寻求解题的突破。
【点评】本题考查无理数的开平方运算，新定义，二次函数图象及性质；能够理解题中所给定义，分类讨论思想的运用，数形结合思想将题中信息与二次函数图象结合解题是关键．
本题借助双重根式模型，使问题得到不断生长，具备"生长性"的问题是生动的，有生命力的．基于"最近发展区"的层层递进式的问题变式和推广有利于思维的发展，当中即有思维的传递性，有又思维的发散性，能很好地促进学生对感受问题的生命力，从中体验并获知问题生长的路径和思维的轨迹
2.（2019?日照中考题）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B．
（1）求抛物线解析式及B点坐标；
（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；
（3）如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+1/2PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．
【分析】（1）由直线y＝﹣5x+5求点A、C坐标，用待定系数法求抛物线解析式，进而求得点B坐标．
（2）从x轴把四边形AMBC分成△ABC与△ABM；由点A、B、C坐标求△ABC面积；设点M横坐标为m，过点M作x轴的垂线段MH，则能用m表示MH的长，进而求△ABM的面积，得到△ABM面积与m的二次函数关系式，且对应的a值小于0，配方即求得m为何值时取得最大值，进而求点M坐标和四边形AMBC的面积最大值．
（3）作点D坐标为（4，0），可得BD＝1，进而有PD/BP=BP/AB=1/2，再加上公共角∠PBD＝∠ABP，根据两边对应成比例且夹角相等可证△PBD∽△ABP，得PD/PA等于相似比1/2，进而得PD＝1/2AP，所以当C、P、D在同一直线上时，PC+1/2PA＝PC+PD＝CD最小．用两点间距离公式即求得CD的长．
【解答】（1）直线y＝﹣5x+5，x＝0时，y＝5,∴C（0，5）
y＝﹣5x+5＝0时，解得：x＝1,∴A（1，0）
∵抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点
∴1+b+c=0, 0+0+c=5 解得：b=-6,c=5.
∴抛物线解析式为y＝x2﹣6x+5.
当y＝x2﹣6x+5＝0时，解得：x?＝1，x?＝5,∴B（5，0）
（2）如图1，过点M作MH⊥x轴于点H
∵A（1，0），B（5，0），C（0，5）,∴AB＝5﹣1＝4，OC＝5.
∴S△ABC＝1/2AB?OC＝1/2×4×5＝10
∵点M为x轴下方抛物线上的点
∴设M（m，m2﹣6m+5）（1＜m＜5）
∴MH＝|m2﹣6m+5|＝﹣m2+6m﹣5
∴S△ABM＝1/2AB?MH＝1/2×4（﹣m2+6m﹣5）＝﹣2m2+12m﹣10＝﹣2（m﹣3）2+8
∴S四边形AMBC＝S△ABC+S△ABM＝10+[﹣2（m﹣3）2+8]＝﹣2（m﹣3）2+18
∴当m＝3，即M（3，﹣4）时，四边形AMBC面积最大，最大面积等于18
（3）如图2，在x轴上取点D（4，0），连接PD、CD,∴BD＝5﹣4＝1
∵AB＝4，BP＝2,∴PD/BP=BP/AB=1/2.
∵∠PBD＝∠ABP,∴△PBD∽△ABP,∴PD/AP=PD/BP=1/2,∴PD＝1/2AP
∴PC+1/2PA＝PC+PD,
∴当点C、P、D在同一直线上时，PC+1/2PA＝PC+PD＝CD最小.
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，求二次函数最大值，解一次方程（组）和一元二次方程，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短．求线段与线段的几分之几的和的最小值，一般将"线段的几分之几"进行转换，变成能用"两点之间线段最短"的图形来求最小值．
本题抓住题目中已知条件的要点，联想经典阿氏圆的解题模型，寻找思路的切入点，便能得到解题的突破。平时解题中我们也需要这样一题多解的训练，正所谓"横看成林侧成峰，远近高低各不同"，通过对同一问题不同角度的剖析，可以拓展我们解题的思维宽度，让解题带来更大的收获与乐趣。
牛刀小试：
1.（2019?建阳区模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，M点是BC的中点，A为圆心，AB为半径的圆交AD于点E．点P在弧BE上运动，则PM+1/2DP的最小值为_____ ．
【解答】联想几何最值模型阿氏圆的解题模型，构造相似三角形求解。
取AE的中点K，连接PK，KM，作KH⊥BC于H，则四边形ABHK是矩形．可得AK＝BH＝1，HK＝AB＝2．
∵AP＝2，AK＝1，AD＝4，∴PA2＝AK?AD，∴PA/AD=AK/AD，
∵∠KAP＝∠PAD，∴△PAK∽△DAP，∴PK/PD=AK/AP=1/2，
∴PK＝1/2PD，∴PM+1/2PD＝PM+PK，
2（2019?张店区一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝a（x﹣1）（x﹣5）（a＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于P点，过其顶点C作直线CH⊥x轴于点H．
（1）若∠APB＝30°，请直接写出满足条件的点P的坐标；
（2）当∠APB最大时，请求出a的值；
（3）点P、O、C、B能否在同一个圆上？若能，请求出a的值，若不能，请说明理由．
（4）若a＝1/5，在对称轴HC上是否存在一点Q，使∠AQP＝∠ABP？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）作△PAB的外接圆⊙D，由圆周角∠APB＝30°，可得其所对弧AB所对的圆心角∠ADB＝60°．由抛物线对称性可知点A、B关于直线CH对称，所以点D在CH上，证得△ABD为等边三角形，所以⊙D半径DP＝DA＝4．设点P纵坐标为p，即可利用两点间距离公式列方程求p．求得的p有两个解，由于都是正数解，所以满足抛物线与y轴交点在正半轴即p大于0．
所以点P坐标为（0，2√3+√7）或（0，2√3﹣√7）
（2）联想角度最大模型---米勒问题，通过构造直线与圆相切求解问题。作△PAB的外接圆⊙E，由∠AEB＝2∠APB可得∠AEB最大时，∠APB最大．因为点E在直线CH上运动，易得当⊙E与y轴相切时，EH最短，∠AEB最大．此时EP⊥y轴且EP＝OH＝3，EA＝EP＝3，在Rt△AEH中用勾股定理求得DH的长即得到点P坐标．把点P代入抛物线即取得a的值．
∴a＝√5/5；
（3）因为△POB是直角三角形，所以点P、O、B共圆且圆心F为PB中点．由抛物线解析式可用a表示点P、点C坐标，用两点间坐标公式求FB与FC，以FB＝FC为等量关系列方程即求出a的值．∴a的值为√6/6；
（4）作△PAB的外接圆⊙G，与直线CH交于点Q，则∠ABP与∠AQP都是弧AP所对的圆周角，故有∠AQP＝∠ABP．设G点纵坐标为b，用b表示GP、GA的长，以GP＝GA为等量关系列方程即求出b，进而求出半径GQ的长，再求Q点坐标．∴点Q坐标为（3，3+√3）或（3，3﹣√13）．
教学反思：
通过对问题内在模型的探究，通过寻求问题之间的桥梁，并由此基于自身已有的能力，通过层层问题的搭建，使得潜在的能力得以实现，更重要的是通过问题的解决历程，发现问题解决的回归，使得思维有法可依，并提升对问题的理解，获得新的数学知识，使得数学思维进一步扩充，为升华数学思维奠定了思想基础.
读书时我们常听到"厚薄论"：书越读越厚，是对问题理解的多维和丰富，是一种发展观；书越读越薄，是对问题本质理解的深刻和透视；能够辨析出"形同质异"和"形异质同"的问题，也是问题解决的发散和收敛，正如"厚薄论"在数学问题的认知和问题解决是雷同的. 在中学教育阶段，许多学生想学好数学，但由于数学的抽象、苦涩难懂，加之教学过程中一些数学概念的呈现方式过于抽象，远离生活常态，不利于学生的理解.久而久之，使部分学生丧失学习数学的兴趣和信心，渐渐沦落为数学的"差生".
Ｈ．弗赖登塔尔关于数学的呈现方式这样描述过："没有数学思想如当初刚被发现是那样被发表出来.一旦问题解决了，思考的程序便颠倒过来，把火热的思考变成冰冷的美丽." 可以说书本上陈述的某些数学过程，是一种严密的学术形态，呈现冰冷的美丽.在数学学习中把握"问题的模型溯源"、"问题的生长"、"问题的迁移"、"问题的回归"，使它们以学生容易接受的教育形态呈现出来，即将冰冷的美丽变成火热的思考.通过自主的、积极的探究可以促进数学思考更具有程序性，不断加固数学推理的逻辑基础，创设发展学生核心素养的教育形态，将"以学生发展为本"的教育理念落到实处.