矩阵加法与数乘的应用——灰度矩阵的凸组合对应灰度图的合成

前面我们聊过：图像可以表示为矩阵，那么图像的处理究竟与矩阵有什么关系呢？

由于彩色图像的矩阵表示更复杂，我们今天以简单的灰度图为切入点，谈谈图像合成与矩阵运算的关系。

具体地，我们聊聊灰度矩阵的凸组合对应灰度图的合成。

1. 从实例中感知灰度矩阵的凸组合对应灰度图的合成

2. 什么是凸组合：sA+(1-s)B

我们常见的是矩阵的加法，数乘，线性组合。那么什么是凸组合呢？

实际上，凸组合就是一种特殊的线性组合。笔者以两个矩阵的凸组合为例来解释。

两个矩阵A 和B的凸组合可表示为sA+(1-s)B ,其中0≤s≤1.

简单分析可知：0≤1-s≤1，且s+(1-s)=1

换言之，凸组合一种特殊的线性组合，其组合系数在0和1之间，且和为1.

比如：0.2A+0.8B 或0.6A+0.4B

3. 灰度图的合成为何要用对应灰度矩阵的凸组合

因为灰度值在0到255之间，A与B直接相加会导致很多地方的灰度值超过255，从而被默认为255，因为呈现白色。于是整个合成图的效果是一片白色

比如：

由于灰度值在0到255之间，而灰度矩阵A与灰度矩阵B的和A+B中有大量数字超过255，因此A+B本身不再是灰度矩阵。需要对其做截断值处理，所有超过255的数值都设置为255，因此A+B对应的灰度矩阵为

因此A+B对应的灰度图中右边的四列都是白色。

类似地，随意将两个灰度图对应的灰度矩阵做线性组合，很容易出现多处灰度值超过255的情况，从而被出现合成图像中有一大片的白色，看不出图像合成的效果。

而灰度矩阵的凸组合可以保证每个数字依然在0到255之间，因此适合于呈现出灰度图图像的合成效果。