谈谈矩阵的运算（矩阵及其运算的性质）

我们知道，数代表量，数的运算对应着量的计算。这是小学里需要掌握的数学内容。

到了中学，我们学习了向量（vector），实际上，就是一组数。一组数可以用来表示许多东西，比如空间里的箭头（包括所指方向和箭头长度）；表示多项式（向量里的数对应着多项式的系数）；表示复数（复数有实部和虚部两个部分）；表示坐标等等。

如果只是用向量表示一组数，那意思就不大了。对于向量，我们有一些运算，比如向量与向量的加减法；一个数乘上一个向量，我们称其向量的数乘运算；向量与向量还有内积（得到一个数），叉积（得到一个向量）的积运算。

大学里我们还会学到矩阵，矩阵是什么呢？它是一组向量组成的。所以它有行，还有列。一个线性方程组，可以表示成为矩阵乘以向量等于另外一个向量的形式。由此，我们还可以定义矩阵乘以矩阵（将第二个矩阵看作是列向量的组合）。具体运算规则如下：

所以，矩阵乘以矩阵的规则，按一个一个元素来看，就是第i行第j列的元素，等于左边矩阵的第i行与右边矩阵第j列的内积。

这样定义的矩阵运算，并不像数的运算那样可以交换顺序，即，一般来说，对于两个矩阵，A与B，AB与BA不相等。比如

但矩阵乘法的结合律和数的运算是一样的，即

利用矩阵乘法的结合律，我们可以得到一些矩阵的有趣的结论。

我们举个例子。比如对于一个方阵A，如果存在一个同样大小的矩阵B，使得AB=I，I是一个单位阵。那么，我们可以推出BA也等于I，所以可以称B为A的乘法逆矩阵，简称为A的逆，记作。下面，我们证明一下这个结论：