若1/n=1/A+1/B，其中 n，A（若1/a-1/b=4）

若1/n=1/A+1/B，其中

n，A，B都是大于1整数

求证：A+B最大值为（n+1）^2

解：（1）若1/n

=（pn+k）/n（pn+k）

=1/n（pn+k）+

（pn+k-1）/n（pn+k）

∵pn+k-1不能整除pn+k

∴pn+k-1整除n

∴pn+k-1≤n①

∵p≥1，k≥1

∴pn+k-1≥n+1-1=n②

比较①②得

pn+k-1=n ∴

（p-1）n+（k-1）=0③

∵p≥1，k≥1，n≥2

∴当且仅当p=1，k=1

时③成立，∴

1/n=1/n（n+1）

+n/n（n+1）

∴1/n=1/n（n+1）

+1/（n+1）

∴A+B=n（n+1）+n+1

=n^2+n+n+1

=（n+1）^2

（2）设1/n=

（pn+k）/n（pn+k）

=m/n（pn+k）+（pn+k-m）/n（pn+k）

其中m≥2，p≥1，k≥1

并且令pn+k-m≥m，

①若pn+k-m整除pn+k

即pn+k-m|pn+k，

∴pn+k-m|pn+k-m+m

∵pn+k-m整除pn+k-m

∴pn+k-m整除m

∴m≥pn+k-m①

又∵pn+k-m≥m②

∴pn+k-m=m

∴pn+k=2m

于是得到，

1/n=m/（2mn）+m/（2mn）=1/2n+1/2n

∴A+B=4n=2n+2n

②若pn+k-m整除n，

则pn+k-m≤n/2

令n=（pn+k-m）x

1≤x≤n/2

当x=1时，n=pn+k-m

这时1/n=m/n（m+n）

+1/（m+n）

∴m要整除n

∴m≤n

又∵pn+k-m≤m

∴n≥m

∴m=n

∴1/n=1/2n+1/2n

∴A+B=4n<（n+1）^2

当X≠1时，

n=（pn+k-m）x⑤

2≤x≤n/2

（i）若m整除n，

令n=my⑥，∵m≥2

∴2≤y≤n/2，m≤n/2

由⑤⑥得

（pn+k-m）x=my

（pn+k）x=m（x+y）

x≥2，x+y≤n/2+n/2=n，

∵pn+k-m=n/x≤n/2

∴pn+k≤n/2+m

又∵m整除n，m≠n，故m≤n/2，∴pn+k≤n

1/n=1/y（pn+k）

+1/x（pn+k）

∴A+B=y（pn+k）

+x（pn+k）

=（x+y）（pn+k）

≤n（m+n）≤nn=n^2

A+B

∴A+B<（n+1）^2

（ii）若m整除pn+k

则m整除pn+k-m

又∵pn+k-m整除n

∴m整除n

这样（ii）情况与（i）相同，都满足

①m整除n

②pn+k-m整除n，且

pn+k-m≠n

根据（i）情况求得

A+B=n^2，从而得到

A+B<（n+1）^2

综上所述，式子

1/n=1/A+1/B，

当1/n拆分成下列情形时，

1/n=1/（n+1）+1/n（n+1）

A+B取最大值=（n+1）+n（n+1）=（n+1）（n+1）=（n+1）^2