数三——利用一元微分求解函数单调性，极值，凹凸性，拐点等问题

1、函数单调性和极值：

函数的单调性：设函数在[a,b]上连续，在（a，b）内可导。

若f′（x）>0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上单调递增；

若f′（x）<0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上单调递减。

函数的极值：

定义：若函数f(x)在x0的一个邻域D有定义，且对D中除x0的所有点，都有f(x)<f(x0)，则称f(x0)是函数f(x)的一个极大值。同理，若对D中除x0的所有点，都有f(x)>f(x0)，则称f(x0)是函数f(x)的一个极小值。极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点。

计算过程：

（第一充分条件）：求导，找出可能极值点，通过可能极值点两侧符号判断，计算出函数值；

（第二充分条件）：函数的极值通过其一阶和二阶导数来确定。对于一元可微函数f (x)，它在某点x0有极值的充分必要条件是f(x)在x0的某邻域上一阶可导，在x0处二阶可导，且f'(X0)=0，f"(x0)≠0，那么：（1）若f"（x0）<0，则f在x0取得极大值；（2）若f"（x0）>0，则f在x0取得极小值。

函数取得极值的必要条件：设函数f（x）在点x0处可导，且x0是极值点，则f'(X0)=0。

极值点一定是驻点，驻点不一定是极值点。

函数在导数不存在的点处也可能取得极值，驻点和导数不存在的点称为可能极值点。

函数在其整个定义域内可能有许多极大值或极小值，而且某个极大值不一定大于某个极小值。

2、函数的凹凸性与拐点

函数的凹凸性：设f(x)在区间D上连续，如果对D上任意两点a、b

如果恒有f（（a+b）/2）<(f(a)+f(b))/2，那么称f(x)在D上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；

如果恒有f（（a+b）/2）>(f(a)+f(b))/2，那么称f(x)在D上的图形是（向上）凸的（或凸弧）。

定理1：设f(x)在闭区间[a,b]上连续，(a,b)上可导，一阶导数在（a,b）单调递增（减），凹（凸）的。

定理2：设f(x)在闭区间[a,b]上连续，(a,b)上具有一阶和二阶导数，在（a,b）内，二阶导数＞（＜）0为凹（凸）的。

函数的拐点：（1）求出函数定义域和二阶导数，（2）求二阶导数等于0的点或者不存在的点，（3）判断高数在各个区间的凹凸性，（4）观察点两侧凹凸性是否发生改变。（凹凸性改变的点叫做函数的拐点）

3、函数的渐近线

定义：曲线上一点M沿曲线无限远离原点或无限接近间断点时，如果M到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。

铅直渐近线：就是指当x→C时，y→∞。一般来说，满足分母为0的x的值C，就是所求的渐进线。x = C 就是垂直渐进线。

水平渐近线：就是指在函数f(x)中，x→+∞或-∞时，y→c，y=c就是f(x)的水平渐近线。所以我们需要考虑的是x无限变大或者变小后，y的变化情况。

斜渐近线：这种渐近线的形式为y=kx+b，b=limf(x)-kx。极限过程都是x趋向于无穷大。

4、描绘函数图形

（1）函数定义域；

（2）奇偶性和周期性，对称性和奇偶性；

（3）f（x）全部零点，间断点和一阶二阶导数不存在的点，将定义域分成几个子区间；（4）一阶二阶导数的符号，确定单调性，凹凸性，极值点，拐点；

（5）水平、铅直，斜渐近线和其他趋势；

（6）一阶导数和二阶导数的零点以及不存在的点所对应的函数值，特殊点（与坐标轴的交点和曲线的端点）；

（7）用光滑的曲线联结这些点。

5、函数的最大值最小值与最优化问题

f（x）在[a，b]上的最大值与最小值：

（1）求出f（x）的导数；

（2）求出函数在（a，b）内的驻点和导数不存在的点；

（3）求出函数值及区间端点处的函数值f（a），f（b）；（4）比较（3）中值的大小，找出最大值和最小值。

最优化问题：在数学上有时可以归结为求某以目标函数的最大值和最小值问题。