例谈六种有关绝对值问题的解题方法

方法一 去绝对值符号

根据绝对值的基本性质去掉绝对值符号，是解决绝对值问题的常用策略方法.

例1：关于x的方程x^2-4∣x∣+5=m有四个全不等的实根，求实数m取值范围.

分析 先分两种情况：x≥0和x＜0去掉绝对值，再把方程左、右两边分别看作函数且作出图象，观察图象求解.

方法二 添加绝对值符号

利用a^2=∣a∣^2，把关于a的问题转化关于为∣a∣的问题，可以达到出奇制胜的效果.

例2 解方程:x^2-3∣x∣-10=0.

分析 此题可以分x≥0和x＜0两种情况，先去掉绝对值再解方程.若把原方程中的x^2项的x添加绝对值符号，把原方程转化为关于∣x∣的方程来解，则更简捷.

方法三 运用绝对值的几何意义

∣a∣是数轴上表示数a的点与原点的距离，∣x-a∣是数轴上表示数x的点与表示数a的点的距离.运用绝对值的几何意义，可以使绝对值问题得到巧解.

例3 解方程∣x+1∣+∣x-2∣=5.

分析 此题分三种情况x＜-1，-1≤x≤2和x＞2进行讨论，去掉绝对值符号，可以解此方程.如果用绝对值的几何意义，便可以直接得出其解.

方法四 运用绝对值的非负性

∣a∣≥0，即∣a∣是一个非负数，运用绝对值的非负性解有关绝对值问题，也是一种常用的策略方法.

例4. 若关于x的方程∣x^2-6x+8∣=a恰有两个不等实根，求实数a的取值范围.

分析 先作函数y=x^2-6x+8的图象，再根据绝对值的非负性，位于x轴上方的部分不变，把位于x轴下方的部分沿x轴对折上去，就得到y=∣x^2-6x+8∣图象.

方法五 运用绝对值的不等式性质

绝对值问题常用到两个重要不等式:

(1)∣a∣-∣b∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;

(2)∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a±b∣.

例5 设y=∣x-1∣-∣x+5∣，求y的最大值和最小值.

分析 把x-1和x+5看做两个实数，利用上面的性质(2)求解.

方法六 绝对值性质与整数性质相结合

例6 非零整数m、n满足∣m∣+∣n∣-5=0，问所有这样的整数组(m,n)共有多少组?

分析 由于m，n是非零整数，所以∣m∣，∣n∣为正整数.两个正整数之和为5有四种情况.