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已知a,b为实数，a+b=2（已知a,b为实数,则a≥2）

nanyue 2025-07-03 18:28:15 技术文章 3 ℃

求（a+2b+1）/√（a^2+b^2）最大值。

解：令（a+2b+1）/√（a^2+b^2）=m

则m√（a^2+b^2）=a+2b+1=3+b

两边同时平方

m^2（a^2+b^2）=（3+b）^2…………①

∵a+b=2

∴a=2-b

代入①整理可得

（2m^2-1）b^2-（4m^2+6）b+4m^2-9=0

关于b的一元二次方程，其根的判别式△≥0，在实数范围内等式才能成立

即

△=（4m^2+6）^2-4（2m^2-1）（4m^2-9）≥0

m^2（2m^2-17）≤0

即m^2≤17/2

-√34/2≤m≤√34/2

当且仅当b=5/4,a=3/4时取等号

即所求式最大值=√34/2。

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