a,b,c∈R,a+b+c=6,（a+b-c 1/a+1/b-1/c 3）

求√（a^2+18）+√（b^2+32）+√（c^2+50）最小值。

解:

令√（a^2+18）+√（b^2+32）+√（c^2+50）=m，m∈R

同时平方,有

a^2+b^2+c^2+100+2√［（a^2+18）（b^2+32）］+2√[（c^2+50）（a^2+18）］

+2√［（b^2+32）（c^2+50）］=m^2 ①

∵a+b+c=6

∴a^2+b^2+c^2=36-2ab-2ac-2bc ②

②代入①得到

2√［（a^2+18）（b^2+32）］+2√[（c^2+50）（a^2+18）］+2√［（b^2+32）（c^2+50）］-2ab-2ac-2bc =m^2 -136

∵2√［（a^2+18）（b^2+32）］≤a^2+b^2+50

2√[（c^2+50）（a^2+18）］≤c^2+a^2+68

2√［（b^2+32）（c^2+50）］≤b^2+c^2+82

∴2√［（a^2+18）（b^2+32）］+2√[（c^2+50）（a^2+18）］+2√［（b^2+32）（c^2+50）］-2ab-2ac-2bc ≤2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc+200

=（a-b）^2+（a-c）^2+（b-c）^2+200

即m^2≤（a-b）^2+（a-c）^2+（b-c）^2+336

∵（a-b）^2+（a-c）^2+（b-c）^2≥0

∴当且仅当（a-b）^2+（a-c）^2+（b-c）^2=0即a=b=c=2时,m^2取得最小值336,

即（m）min=√336=4√21

（所求式）min=4√21